Moin,
ohne die Nieten kann von der Kupplung die Kraft nicht auf die Kompressorwelle (die Mitte von dem „Stern“) übertragen werden. Also der Zustand erklärt warum die Klima nicht kalt wird.
Für mich ist noch nicht klar, was dazu geführt hat, dass die Nieten fehlen / abgeschert wurden.
Tut der Limafreilauf noch? So kannst du das prüfen: 
Meine Idee dazu: Vielleicht ist der Freilauf fest und die Schwingungen vom Zahnriemen haben die Nieten gekillt. Ist aber nur eine Idee.
Du schreibst ja, dass sich die Welle vom Kompressor drehen lässt.
Mir ist nicht ganz klar, warum die Welle drehbar sein kann UND die Nieten ab sein können (außer vlt. die Erklärung oben mit dem Freilauf der Lima).
Unter der Annahme, dass das Innenleben vom Kompressor noch gut ist, könntest du noch die Kupplung ersetzen bzw. das Teil, das als Magnetanker bezeichnet wird: 
aus
Edit:
In Franks Video sieht man schön, dass er bei angezogener (eingeschalteter) Magnetkupplung beim Drehen des Kompressors schon etwas Widerstand spürt und er erzählt auch, dass er die Kolben im Kompressor hören kann.
Wie ist es bei dir, wenn du die Welle (den Stern) drehst? Spürst du einen Widerstand und hörst die Kolben? Oder geht es ganz leicht, als ob das nichts weiter wäre, das man bewegen müsste?
Wenn es ganz leicht geht, ist die Welle höchstwahrscheinlich gerissen aufgrund von einer Blockade und der komplette Kompressor muss getauscht werden.
In dem Fall auch nach Späne im System schauen etc.
Dann brauchst du mit einem Tausch des Magnetankers gar nicht rumzumachen.